④桐朋中学校

(1) まず最初に1〜6の数について、約数を調べておきます。1の約数は1だけ、2の約数は1と2、3の約数は1と3、4の約数は1と2と4、5の約数は1と5、6の約数は1と2と3と6 となります。ここから、どの目が出ても必ず1のカードはうらがえることがわかります。さて、3,3,2,6,3の目が出た時についてですが、それぞれの約数を書き出して調べると、最終的に1と6が赤になっていますので、P=1+6=7、正解は 【7】 となります。

(2) (1)を調べることで、奇数回うらがえされたカードが赤色となることがわかります。例えば(1)で1のカードは5回、6のカードは1回、つまり奇数回うらがえされたので赤色となります。2のカードは2回、3のカードは4回、つまり偶数回うらがえされたので結果として白色に戻っています。
さて、サイコロを3回投げた場合ですが、どの目が出ても必ず1のカードはうらがえりますから、1のカードは3回(奇数回)うらがえり赤色となります。P=8より、他に赤色となったカードの和は、8−1=7です。2〜6の組み合わせで7になるものは、2+5=7 と 3+4=7 の2通りだけですから、<ア>:2と5を奇数回うらがえす場合と、<イ>:3と4を奇数回うらがえす場合の2通りを調べればいいことがわかります。
まず<ア>についてですが、2と5の目が1回ずつ出れば2と5はそれぞれ1回(奇数回)うらがえり赤色となります。残りの1回で1が出れば2〜6のカードはどれもうらがえりませんので、3回の出た目は2と5と1、小さい順に書くと 【1,2,5】 となります。
次に<イ>についてですが、3と4の目が1回ずつ出れば3と4はそれぞれ1回(奇数回)うらがえり赤色となります。ただし4の目が出た時には2もうらがえることに注意しましょう。残りの1回で2がでれば2のカードは2回(偶数回)うらがえり白色となりますので、3回の出た目は3と4と2、小さい順に書くと 【2,3,4】 となります。

(3) サイコロを20回投げると1のカードは20回うらがえります。偶数回ですから1のカードは白色となり、Pには含まれません。P=10とするためには1以外の2〜6の組み合わせで10とする必要があります。考えられるのは、4+6=10と 2+3+5=10の2通りだけですから、 <ア>:4と6を奇数回うらがえす場合と、<イ>:2と3と5を奇数回うらがえす場合の2通りを調べればいいことがわかります。
まず<ア>についてですが、6の目が奇数回でた場合、約数である1,2,3,6のカードが赤色となります。6の目が多く出る場合を考えますから、4の目は最も少ない1回出ることを考えて、1,2,4がうらがえり、この結果、3,4,6のカードが赤色となります。次に余計な3をうらがえすため、3の目が最も少ない1回出ることを考えます。1,3がうらがえり、この結果、1,4,6のカードが赤色となります。最後に余計な1をうらがえすため、1の目が最も少ない1回出ることを考えます。1がうらがえり、この結果、4,6のカードが赤色となり、P=4+6=10となります。4と3と1が1回ずつ、計3回出ていますから、6の目は20−3=17回(奇数回)出たことになります。
次に<イ>についてです。この場合、6のカードは偶数回うらがえりますので、6の目は偶数回出ていると考えます。6の目が多く出る場合を考えますから、2と3と5の目が最も少ない1回出ることを考えると、1,2と1,3と,1,5のカードがそれぞれうらがえり、この結果、1,2,3,5のカードが赤色となります。最後に余計な1をうらがえすため、1の目が最も少ない1回出ることを考えます。1がうらがえり、この結果、2,3,5のカードが赤色となり、P=2+3+5=10となります。2と3と5と1が1回ずつ、計4回出ていますから、6の目は20−4=16回(偶数回)出たことになります。
以上、①6の目が最も多く出る場合は<ア>の場合で 【(1〜6の順に) 1回・0回・1回・1回・0回・17回】 で、②6の目が2番目に多く出る場合は<イ>の場合で 【(1〜6の順に) 1回・1回・1回・0回・1回・16回】 となります。

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