☆koiku☆　学び舎こいく　[考える力をつける！福岡市南区の個人塾]

①上智福岡中学校

(1) 1回目に奇数(1・3・5)が出た場合、2回目に何が出ても右に8マスまではいけませんから、2回とも偶数(2・4・6)が出たことがわかります。2回で8マス進む組み合わせは、2-4, 4-4, 2-6 (1回目-2回目)の 【3通り】 です。

(2) まず、1回目に奇数が出た場合を調べます。1が出た場合、奇数なので左に進みます。2回目で1以上右に進む必要がありますから、偶数2,4,6の3通りです。3が出た場合、2回目は3以上右に進む必要がありますから偶数4,6の2通りです。同様に5が出た場合は2回目は偶数6の1通りです。次に、1回目に偶数が出た場合です。2が出た場合、偶数なので右に進みます。2回目で2以上左に進んだときだけAよりも左がわになりますので、奇数3,5以外の奇数1、そして偶数2,4,6の4通りです。4が出た場合、2回目は奇数5以外の奇数1,3、そして偶数2,4,6の5通りです。6が出た場合はどんな奇数が出てもAよりも右がわにありますので、奇数1,3,5と偶数2,4,6(つまりすべての数)の6通りです。ということで、目の出方は全部で3＋2＋1＋4＋5＋6＝ 【21通り】 あります。

＜別解＞　奇数と偶数の組み合わせとして①奇数2回、②偶数２回、③奇数と偶数1回ずつ、の3つのパターンがありますが、①は必ず左がわにコマがとまりますので、②と③の場合を調べます。②のパターンは、2-2, 2-4, 2-6, 4-2, 4-4, 4-6, 6-2, 6-4, 6-6の9通りあります。③のパターンは、偶数が奇数より大きくなることに注意します。
奇数-偶数で、1-2, 1-4, 1-6, 3-4, 3-6, 5-6の6通り、偶数-奇数は前後を引っくり返した6通りありますから、③のパターンは12通り。目の出方は全部で9＋12＝ 【21通り】 あります。

(3) さいころの出た目が小さい順に規則正しく調べていきます(1回目-2回目-3回目)。まずは1回目に1が出た場合。1-1-2, 1-2-1, 1-3-4, 1-4-3, 1-5-6, 1-6-5の6通りです。1回目と2回目の結果に合わせて、3回目が決まることがわかります。次に1回目に2が出た場合。2-1-1, 2-2-×, 2-3-×, 2-4-×, 2-5-×, 2-6-×の1通りです。偶数(右)と奇数(左)で進む方向が決められているため、Aに戻ってこられない場合（×）もあることがわかります。1回目に3が出た場合は、3-1-4, 3-3-6, 3-4-1, 3-6-3の4通り。1回目に4が出た場合は、4-1-3, 4-3-1,の2通り。1回目に5が出た場合は、5-1-6, 5-6-1の2通り。1回目に6が出た場合は、6-1-5, 6-3-3, 6-5-1の3通り。目の出方は全部で6＋1＋4＋2＋2＋3＝ 【18通り】 あります。

＜別解＞　奇数が３回出てAに戻ることはありません。同様に偶数3回もないので、①奇数1回・偶数2回のパターンか、②奇数2回・偶数1回のパターンがあります。まず①のパターンですが、偶数が２回出たときは、右に偶数ぶん進みますから、次に奇数が出ても左には奇数ぶんしか戻れないため、実は①のパターンはあり得ません。つまり②のパターンの数がそのまま答えとなります。②の3つの数字(Aに戻る場合のみ)の“選び方”は1-1-2, 1-3-4, 1-5-6, 3-3-6の4通りです。ここで1-1-2の“並べ方”を調べると、1-1-2, 1-2-1, 2-1-1の3通りあり、次の1-3-4の“並べ方”は1-3-4, 1-4-3, 3-1-4, 3-4-1, 4-1-3, 4-3-1の6通りあります。続いて1-5-6は3種類の数字があるので1-3-4と同じく6通り、3-3-6は2種類の数字があるので1-1-2と同じく3通り。つまり合計では3＋6＋6＋3＝ 【18通り】 あります。

②筑紫女学園中学校

(1)　「あ」は点Aにもどってくるまでに2cmの辺と1cmの辺をそれぞれ3本ずつ進みます。つまり、(2＋3)×3 (もしくは2×3＋3×3)＝15cm進みます。「あ」は1秒に2cm進みますから、□秒では（2×□）cm進みます。つまり、2×□＝15という式が成り立ちます。よって、□＝15÷2＝ 【7.5秒】 となります。
※このあたりの説明はこうやって言葉で書くより、絵や図で説明した方が断然わかりやすいと思います。実際に15cmの直線(あるいは問題の図形)を書いて、2cmごとに1秒2秒3秒…と書いていけば、7秒半で15cmに到達することが実感できるはずです。

(2) 「あ」と「い」は反対方向に進みますから出発したときには、15cm離れています。「あ」は1秒に2cm、「い」は1秒に1cmずつ進みますから、1秒で2＋1＝3cmずつ距離の差が縮まることになります。□秒で(3×□)cm縮まり、15cmぶん縮まった時が出会うときですから、3×□＝15という式が成り立ちます。よって、□＝15÷3＝ 【5秒】 となります。
※これも実際に15cmの直線(あるいは問題の図形)に、「あ」と「い」の動きを1秒後2秒後3秒後…と丁寧に書きいれていけば、5秒後に出会うことが理屈抜きに納得できると思います。

(3) 「あ」と「い」が出発して何秒後に点Cを通過するかをそれぞれ調べていきます。まず「あ」ですが、出発した点Aから点Cまでは5cmありますから5÷2＝2.5秒後に点Cを始めて通過します。次に点Cまで戻ってくるまでに進む距離は15cm、つまり(1)と同じ距離を進むわけですから、2回目に通過するのは2.5秒からさらに7.5秒たった、10秒後(2.5＋7.5＝10)ということがわかります。その後は7.5秒ごとに点Cに戻ってきますので、7.5ずつ加えていった、17,5秒, 25秒, 32.5秒, 40秒, 47.5 秒, 55秒となります。続いて「い」は、出発した点Aから点Cまでは10cm(2＋2＋3＋3＝10)ありますから、10÷1＝10秒後に点Cを始めて通過します。次に点Cまで戻ってくるまでに15÷1＝15秒かかりますから、２回目以降は10に15ずつ加えていった、25秒, 40秒, 55秒となります。「あ」と「い」が同時に点Cを通過した時間が出会った時間となりますので、10秒, 25,秒 40秒, 55秒の、 【4回】 出会うことになります。
※「あ」は「い」の2倍の早さがありますから、点Cを通過した回数も多くなります。こういった場合、点Cを通過した回数の少ない「い」の通過時間を先に調べて、次にそれに一致する「あ」を探す、という順番で調べた方が効率的です。

③福大大濠中学校

(Ⅰ)(1) 「ア」一番手前の青3段でかくれるため、その後ろの積木は2つとも見えません。よって 【1色】　です。「イ」一番手前の赤2段でかくれるため、その後ろの黄1段は見えません。青3段は赤2段より高いため、一番上の積木が見えます。よって 【2色】　です。

(Ⅰ)(2) 1色の列に注目すると、一番高い青3段がEやFにあると必ず2色以上見えるはずですから、一番手前の 【Ｄ=3】 がわかります。3色の列に注目すると、3色見える積木の並べ方は一通り、つまり低い順に並べるしかないことがわかります。 【Ⅰ=1, F=2, C=3】　です。これにより、 【E=1】 となります。次に、全部で3個ある黄1段に注目すると、すでに2個は置かれており、あと一つを置ける場所として、【A=1】 が決まります。あとは自動的に、【B=2, G=2, H=3】 となります。
(Ⅱ)(1) 1色の列に注目すると、一番高い緑4段が一番手前に置かれるはずですから、H=4 とわかります。4色の列に注目すると、低い順に並んでいるはずですから、 【A=1】 , E=2,Ⅰ=3, M=4 がわかります。次に緑4段が3色の列のどこに置かれるかを考えると、C=4 が決まり、残った一つの緑4段の置き場所を考えると、J=4 が決まります。次に2色の列に注目すると、L=2, 【K=1】 がわかります。さらに3色の列に注目すると、O=2, G=3 がわかります。ここで自動的に 【F=1】 が決まり、残った黄1段の置き場所を考えると 【P=1】 が決まります。残りは N=3, B=2, D=3 となります。

(Ⅱ)(2) まず1色の列に注目して B=4 です。次に、左から3色右から2色見える列に注目します。この列に緑4段の置き場所は1つしかありません。　【G=4】 です。さらに一番下の右から2色見える列に注目し、緑4段の置き場所を考えて、 【M=4】 、残った一つの緑4段の置き場所を考えて、L=4が決まります。ここでもう一度、一番下の右から2色見える列に目を移すと、 青3段はNやOには置けないことがわかります。よってP=3、それによって 【D=2】 , H=1となります。ここから、E=2, F=3が決まり、N=2, 【J=1】 も決まります。残りは順に、O=1, C=3, K=2, A=1, Ⅰ=3です。

④西南学院中学校

(1) コース1周分の直線は120×2＝240ｍで、カーブも同様です。A君が直線を走るときの速さは秒速6ｍですから、かかる時間は、240÷6＝40秒です。カーブを走るときの速さは秒速4ｍですから、かかる時間は 240÷4＝60秒＝1分。よってA君が1周走るのにかかる時間は40秒＋1分＝【1分40秒】 です。
※ここでは「距離÷速さ」で「時間」を求めていますが、公式を使わずに解くことも可能です。例えば秒速6ｍで24ｍを走るときにかかる時間を考える場合、6＋6＋6＋6＝24なので4秒と求めるなど、様々な工夫が考えられます。試行錯誤の末に正答に辿り着くことが出来れば、公式の利用とは比較にならない深い納得感が得られるはずです。

(2) まずB君が1周するのにかかる時間を調べてみます。直線には240÷5＝48秒かかり、カーブには240÷3＝80秒かかりますから、合計で48＋80＝128秒です。A君は1分40秒＝60＋40＝100秒で1周していましたから、128−100＝28秒だけ、B君の方が時間がかかります。つまりB君がスタートして28秒後にA君がスタートすれば、100秒後に同時にゴールすることになります。ではB君は28秒でどこまで進むのでしょうか。まず、12＋24×2＝60ｍある最初の直線に、60÷5＝12秒かかり、次のカーブ120ｍに120÷3＝40秒かかりますから、カーブの途中まで進むことがわかります。カーブを28−12＝16秒間、距離にすると16×3＝48ｍ進んでいます。48÷24＝2より、カーブの始まり③から48ｍ進んだ地点は 【⑤番】 です。

(3) 最初にA君がアの方向にスタートして22秒で進んだ距離を調べます。最初の直線を走るのに60÷6＝10秒かかりますから、カーブの始まり③から、(22−10)×4＝48ｍ進んだ地点、つまり⑤を通過したときにB君がスタートしたことがわかります。その後、B君が⑬に行くまでにかかる時間は、直線で60÷5＝12秒、カーブで120÷3＝40秒、合計で12＋40＝52秒です。一方、A君が⑬に行くまでにかかる時間は、カーブ(⑤〜⑧)で(120−48)÷4＝18秒、直線で120÷6＝20秒、合計で18＋20＝38秒です。ここから、⑬を先に通過したのはA君であることと、二人は⑬〜⑱のカーブで出会ったことがわかります。それではA君が⑬を通過したとき(B君のスタートから38秒後)、B君はどこにいたのでしょうか。最初の直線に12秒かかっていますから、カーブの始まり⑱から、(38−12)×3＝78ｍ進んだ地点、つまり⑬まで120−78＝42ｍの地点にいます。(52−38)×3＝42ｍと考えてもよいでしょう。その後は2人とも一定の速さで進みますから、2人の間の距離42ｍも一定の速さで縮まっていきます。つまりA君が秒速4ｍ、Bくんが秒速3ｍで向かい合って進んでいるので、1秒に4＋3＝7ｍずつ2人の間の距離は縮まっていきます。ここから、2人の間の距離がなくなるとき、つまり二人が出会うときは、A君が⑬を通過してから42÷7＝6秒後だとわかります。A君はそのとき、⑬から6×4＝24ｍの地点にいます。よって二人が出会う地点は 【⑭番】 です。

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⑤灘中学校

(1) はじめに、操作Aを1回行ったときの5個の整数の変化について、さいころの出た目1〜6ごとに調べてみます。
●1の場合 ①出た目の数1を1,2,3,4,5それぞれにかけると、1,2,3,4,5となる。
②1,2,3,4,5をそれぞれ6で割ると、1÷6＝0…1、2÷6＝0…2、3÷6＝0…3、
4÷6＝0…4、5÷6＝0…5 となり、あまりにおきかえると 1,2,3,4,5 (5種類) となる。
●2の場合　①出た目の数2を1,2,3,4,5それぞれにかけると、2,4,6,8,10となる。
②2,4,6,8,10をそれぞれ6で割ると、2÷6＝0…2、4÷6＝0…4、6÷6＝1…0、
8÷6＝1…2、10÷6＝1…4 となり、あまりにおきかえると 2,4,0,2,4 (3種類) となる。
●3の場合　①出た目の数3を1,2,3,4,5それぞれにかけると、3,6,9,12,15となる。
②3,6,9,12,15をそれぞれ6で割ると、3÷6＝0…3、6÷6＝1…0、9÷6＝1…3、
12÷6＝2…0、15÷6＝2…3 となり、あまりにおきかえると 3,0,3,0,3 (2種類) となる。
●4の場合　①出た目の数4を1,2,3,4,5それぞれにかけると、4,8,12,16,20となる。
②4,8,12,16,20をそれぞれ6で割ると、4÷6＝0…4、8÷6＝1…2、12÷6＝2…0、
16÷6＝2…4、20÷6＝3…2 となり、あまりにおきかえると 4,2,0,4,2 (3種類) となる。
●5の場合　①出た目の数5を1,2,3,4,5それぞれにかけると、5,10,15,20,25となる。
②5,10,15,20,25をそれぞれ6で割ると、5÷6＝0…5、10÷6＝1…4、15÷6＝2…3、
20÷6＝3…2、25÷6＝4…1 となり、あまりにおきかえると 5,4,3,2,1 (5種類) となる。
●6の場合　①出た目の数6を1,2,3,4,5それぞれにかけると、6,12,18,24,30となる。
②6,12,18,24,30をそれぞれ6で割ると、6÷6＝1…0、12÷6＝2…0、18÷6＝3…0、
24÷6＝4…0、30÷6＝5…0 となり、あまりにおきかえると 0,0,0,0,0 (1種類) となる。
ここで、ｘ＝5の“ｘ ” は、“操作を3回くり返して行ったあとにできる5個の整数”の“種類の数”とありますから、さいころが3回ふられた後に、5個の整数が5種類になる場合を考えます。最初は5種類(1,2,3,4,5)から始まりますが、３回のさいころの出た目の中に一度でも2,3,4,6が出てしまうと種類が減ります。一度でも種類が減ってしまうと増えることはありませんから、さいころの出た目は3回とも1か5であったことがわかります。出る順序も区別して目の出方を調べると、1-1-1, 1-1-5, 1-5-1, 5-1-1, 1-5-5, 5-1-5, 5-5-1, 5-5-5 の 【8通り】 です
※1・2・3回目のそれぞれについて1と5の2通りがありますから、2×2×2＝8通りとしてもよいでしょう。

(2) さいころが3回ふられた後に、5個の整数が3種類になる場合を考えます。(1)で調べた通り、さいころの出た目が2と4の場合に3種類になります。ただし3回ふるわけですから、2や4が出た後にさいころをふったときの5個の整数の変化について調べる必要があります。 2が出た場合(2,4,0,2,4)と、4が出た場合(4,2,0,4,2)は、どちらも(0,2,4)の3種類となりますので、(0,2,4)に対して操作Aをもう1回行ったときの数字の変化について、さいころの出た目1〜6ごとに調べてみます。
●1の場合 ①出た目の数1を0,2,4それぞれにかけると、0,2,4となる。
②0,2,4をそれぞれ6で割り、あまりにおきかえると 0,2,4 (3種類) となる。
●2の場合　①出た目の数2を0,2,4それぞれにかけると、0,4,8となる。
②0,4,8をそれぞれ6で割り、あまりにおきかえると 0,4,2 (3種類) となる。
●3の場合　①出た目の数3を0,2,4それぞれにかけると、0,6,12となる。
②0,6,12をそれぞれ6で割り、あまりにおきかえると 0,0,0 (1種類) となる。
●4の場合　①出た目の数4を0,2,4それぞれにかけると、0,8,16となる。
②0,8,16をそれぞれ6で割り、あまりにおきかえると 0,2,4 (3種類) となる。
●5の場合　①出た目の数5を0,2,4それぞれにかけると、0,10,20となる。
②0,10,20をそれぞれ6で割り、あまりにおきかえると 0,4,2 (3種類) となる。
●6の場合　①出た目の数6を0,2,4それぞれにかけると、0,12,24となる。
②0,12,24をそれぞれ6で割り、あまりにおきかえると ,0,0,0 (1種類) となる。
つまり、1,2,4,5の場合は変わることなく3種類、3,6の場合は種類が減って1種類になるとわかります。
3回のさいころの出た目の中に一度でも3,6が出てしまうと種類が減ります。一度でも種類が減ってしまうと増えることはありませんから、さいころの出た目は3回とも1,2,4,5のいずれかであったことがわかります。1・2・3回目のさいころ、それぞれについて、1,2,4,5の4通りがありますから、4×4×4＝64通り、ただし、(1)のように2や4が一度も出ず、3回とも1か5だった場合は3種類になりませんので、(1)で求めた8通りを除いて、64−8＝ 【56通り】 です。

(3) さいころが3回ふられた後に、5個の整数が1種類になる場合を考えます。まず、3が出た後にさいころをふったときの5個の整数の変化について調べます。3が出た場合(3,0,3,0,3)は、(0,3)の2種類となりますので、(0,3)に対して操作Aをもう1回行ったときの数字の変化について、さいころの出た目1〜6ごとに調べてみます。
●1の場合　1を0,3にかけると、0,3となる。6で割り、あまりにおきかえると 0,3 (2種類) となる。
●2の場合　2を0,3にかけると、0,6となる。6で割り、あまりにおきかえると 0,0 (1種類) となる。
●3の場合　3を0,3にかけると、0,9となる。6で割り、あまりにおきかえると 0,3 (2種類) となる。
●4の場合　4を0,3にかけると、0,12となる。6で割り、あまりにおきかえると 0,0 (1種類) となる。
●5の場合　5を0,3にかけると、0,15となる。6で割り、あまりにおきかえると 0,3 (2種類) となる。
●6の場合　6を0,3にかけると、0,18となる。6で割り、あまりにおきかえると 0,0 (1種類) となる。
(1)(2)で調べたことと合わせて整理すると、1種類になるのは、①3回のうち1回でも6が出る　②2か4が出た後に3が出る　③3が出た後に2か4が出る　以上、3パターンが考えられます。これに注意して目の出方を調べると、1回目に1が出た場合、1-1-6, 1-2-3, 1-2-6, 1-3-2, 1-3-4, 1-3-6, 1-4-3, 1-4-6,…と続いて15通り。
1回目に2が出た場合、2-1-3, 2-1-6, 2-2-3, 2-2-6, 2-3-1, 2-3-2, 2-3-3, 2-3-4,…と続いて20通り。
1回目に3が出た場合、3-1-2, 3-1-4, 3-1-6, 3-2-1, 3-2-2, 3-2-3, 3-2-4, 3-2-5, …と続いて27通り。
1回目に4が出た場合、2が出た場合と同様になるので20通り。1回目に5が出た場合、1が出た場合と同様になるので15通り。1回目に6が出た場合、全ての場合なので6×6＝36通り。よって1種類になるさいころの目の出方は、合計で15＋20＋27＋20＋15＋36＝ 【133通り】 です。